Le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application ensembliste f de S dans G, il existe un unique morphisme de groupe de F dans G prolongeant f.

Soit encore, un groupe G est dit libre s'il existe un sous-ensemble S de G tel que chaque élément de G puisse être écrit d'une unique façon sous la forme d'un produit d'un nombre fini d'éléments de S et de leur inverse. Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui jusitifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera F _S ou L(S). Intuitivement, F _S est le groupe engendré par S sans relation entre les éléments de S.

Attention : cette notion diffère de celle de groupe abélien libre.

Histoire

Walther von Dyck étudie en 1882 le concept de groupe libre, sans y donner de nom, dans son article Gruppentheoretishe Sudien (Etude de la théorie des groupes) publié dans Mathematische Annalen (annales mathématiques). Le terme de groupe libre a été introduit par Jakob Nielsen en 1924.

Construction

Introduisons un ensemble S' équipotent à S et disjoint de S. Il existe alors une bijection S → S '. Pour chaque élément s de S, on note s ' l'élément correspondant dans S.

Notons M l'ensemble des mots sur la réunion de S et de S ', c'est-à-dire les chaînes finies de caractères constituées d'éléments de S et de S '. Deux telles chaînes seront dites équivalentes si on peut passer de l'une à l'autre en enlevant ou en rajoutant des chaînes de la forme ss ' ou s 's. Ceci définit une relation d'équivalence sur M. On définit L (S) comme l'ensemble des classes d'équivalence.

La concaténation de deux mots définit une loi sur M préservée par l'équivalence. Par passage au quotient, on obtient un loi de groupe sur L (S). L'élément neutre est la classe du mot vide, et l'inverse de

s 1 s 2

. s

s n

est

s n '

. s

s 2 's 1 '

.

Vérification de la propriété universelle : Si G est un groupe, et f : S → G est une application ensembliste, f se prolonge en une application ensembliste g : M → G par :

g

= g (s 1 )

. s

g (s n )

Cette application g est constante sur les classes d'équivalence, et induit donc une application g : L (S) → G. Cette application g prolonge f et est un morphisme de groupes.

Premières propriétés

• Si S et T ont même cardinal, alors F _S et F _T sont isomorphes. En effet, une bijection entre S et T donne lieu à des morphismes de F _S dans F _T et de F _T dans F _S , morphismes qui sont réciproques l'un de l'autre.
• Soit G un groupe, et soit S un système générateur de G. Alors G est un quotient du groupe libre F _S sur S. En particulier, n'importe quel groupe est le quotient d'un groupe libre.

Exemples

• Le groupe libre sur l'ensemble vide est le groupe trivial, et le groupe libre sur un singleton est isomorphe à Z. Ce sont les deux seuls groupes libres commutatifs.

• Soit n un entier naturel. Le Groupe fondamental du plan privé de n points est un groupe libre sur un ensemble de cardinal n.

Sous-groupes d'un groupe libre

Les sous-groupes d'un groupe libre sont libres. La démonstration de ce résultat n'est pas immédiate. Un sous-groupe libre admettant un système fini de générateurs a des sous-groupes de n'admettant aucun système fini de générateurs.

Référence

• (en) Marshall Hall The theory of groups , chapitre 7.